高中数学里不是经常求函数的最值么？ 所谓函数的最值，你可以想象有一片山区，所有山顶中最高的就是最大值，所有山谷中最低的就是最小值。 小寶亨1號濃度2025 而每个山顶（谷）称为函数的极大（小）值，所以求最值就转化成求极值。
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这些例子里，静摩擦力就是使得车轮不滑动的约束力；刚体的内力约束其形状不变；铰链约束着被链接的刚体的运动状态。 所以新函数\Phi (x) + C也是f(x)的原函数，这说明f(x)的原函数可以有无限多个。 严格的数学证明会告诉你，如果F(x)是f(x)的一个原函数，那么其他无限多个原函数只能是F(x) + C的形式。 也就是对于同一个被积函数f(x)来说，不同原函数之间只相差一个任意常数。
- 咱们的目的就是要找出竖直位移y和水平位移x之间的关系，即轨迹方程。
- 这种路线正确的原理，你不把它放第一位放哪？
- 咱们一开始接触物理的时候就知道，要判断物体的位置有没有变化需要找一个参照物，也就是参考系。
- 这下可就激发了欧拉的探索欲望，他想得到描述力学问题的普遍方程。
再正常不过了，解决问题就是打怪升级的过程，咱们再次需要获得有力的数学武器。 但这个武器并不是为解决约束问题而生的，其来头可不小呢。 至于新的坐标系是什么样子的，甩给你一句话——具体问题具体分析！ 比如说可以选极坐标呀，柱坐标，球坐标等等。
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显然这种情况下，路程最短对应的时间就不是最短的了。 再来看光的反射现象，它指的是光从一种介质射到与另一种介质的分界面时，一部分光会返回到原介质中的现象。 即整个过程里，光始终在同一介质中传播，所以传播的速度是定值。 显然，当整个光路的长度最短时对应的传播时间最短。 从下图中可以看到，依然是两点之间线段最短的特点。
从图中可以发现，对于直线来说，无论哪一段的倾斜程度都是一样的。 这很好理解，如果物体始终做匀速直线运动，无论用哪一段的位移除以对应的时间，求出来的速度都是一样的。 但是相比直线，曲线更常见；对于运动来说，变速运动也更常见。
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不过这是从微观层面来说的，可是在宏观层面摩擦力是真实存在的，而且也不是保守力，此时咱们得到的拉格朗日方程就不能把广义力那一项进一步化简了。 至于计算起来会不会很头铁，机智的我再次甩锅给数学了哈。 可能有读者会疑惑这里为啥是偏导，而刚才重力的表达式里却是导数。 小寶亨1號濃度 很简单，重力势能只与竖直高度有关（重物不变），所以重力势能是位置（竖直方向）的单变量函数。 而一般情形下，势能是位置分量的多变量函数。 好啦，现在工具都已齐活，咱们即将开始大干一场！
咱们的目的就是要找出竖直位移y和水平位移x之间的关系，即轨迹方程。 显然现在我们并不知道y的函数表达式长什么样。 小寶亨1號濃度 咱们刚才的推导思路就是拉格朗日对变分法发展的贡献，此乃拉神的成名作！ 而为了解决含有约束的力学问题而诞生的拉格朗日方程是之后的事了（1788年）。 从这个角度来说，牛顿的光环太耀眼，导致18世纪的物理学界再没出现过像他这样的集大成者。 虽然如此，但是在具体的复杂问题中怎样把牛顿运动定律变得好用还是大有可为的。
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请不要被这个符号给吓到了，你可以随便用一个符号把f(x)给包起来。 但是请注意，泛函的自变量不再是变量x，而是函数f(x)。 关于这两个问题的具体求解，在后面会展现出来，这里暂时只说问题的求解思路。 这两个例子都是要解决同一个问题——要从众多可能的轨迹中选择一条确定轨迹，该轨迹对应着最小值。 问题发展到这里，咱们又遇到了拦路虎。
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显然，光在介质中的传播速度就是坐标的函数，将其记为v(x,y)。 你得这么看：从本质上摩擦力是电磁力，而电磁力属于保守力。 所以拉格朗日方程似乎不会遇到非保守力的情形。
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这个等式的识记也好理解，相当于你的娃现在穿了两件衣服，你是不是得一件一件的脱？ 而且是先脱外层的衣服f'(u)，再脱里面的衣服g'(x)，两件都脱完了才算完事，即f'(u) 小寶亨1號濃度 \cdot g'(x)。 至于两个函数相除的导数就不写了，后面的物理问题里暂时用不上。 小寶亨1號濃度2025 毕竟这篇文章的主角是物理，数学工具够用就行。 呃，干嘛要去研究这些复杂的器件呀，这不自讨苦吃嘛？ 嗨，谁说不是呢，可是历史的车轮来到了工业革命，哪个机器上不带点这些器件呢？
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物体的位置咱们可以用位矢来表示，其实就是从坐标原点指向物体所在的位置坐标的有向线段。 谁说物理里只能引入那些实实在在的东西？ 小寶亨1號濃度2025 磁感线、电场线是不是引入的两个假想工具？ 它的作用就好比几何题里的辅助线，背后隐藏着巨大的作用。 小寶亨1號濃度 小寶亨1號濃度 小寶亨1號濃度2025 扯点闲话，这里之所以省略了泛函变分的推导过程，主要目的在于突出类比的思想，这可是物理学里及其重要的思想方法，甚至可以说是一种优秀的物理直觉！
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这里不用操心，我们目前只在宏观低速领域内讨论问题。 接下来咱们所说的降阶就是从这一项开始改造的。 想想中学里解一元二次方程时，老师是不是教过我们一种办法叫做换元法？
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因为由一个力学体系不能完全决定对应的拉格朗日函数，其后还可以添加一个“任意常数”，这和求不定积分很类似。 虽然拉格朗日的最小作用量原理没有激起太大的水花，但是拉格朗日方程可谓是威风凛凛，人称数学的一首诗！ 后生才俊哈密顿受到这首诗的熏陶之后，宏伟目标也就随之浮现了：要通过演绎方法从最少的公理去导出一个体系的完备表述。 显然，最小作用量原理被他看中了，而他要做的就是改进它。 这里的y是指起点和终点之间的竖直高度差。 如果沿竖直和水平方向建立直角坐标系，则y就是竖直方向上的位移。
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这便是大名鼎鼎的牛顿——莱布尼茨公式！ 是它把定积分的计算与求原函数进行了联姻，于是微分与积分的基情就开始了。 小寶亨1號濃度 这个式子称为被积函数f(x)在区间[a,b]的定积分，a和b分别称为定积分的下限和上限，x是积分变量。 这个结果记起来稍微要费点脑子：你可以想象自己一个人带着两个娃，现在得给娃脱衣睡觉，你是不是得挨个来？ 先给第一个娃脱衣服，让第二个娃一边呆着（f’ \cdot g）；然后是第一个娃看着，给第二个娃脱衣服（f \cdot g’）。
由于牛顿第二定律是针对单个质点的规律，所以咱们需要把这个拉格朗日函数推广到受外界相互作用影响的单个质点的身上。 我的天呐，本来只想着猜出自由质点系的拉格朗日函数，一不留神把机械能（动能加势能）守恒给推导出来了。 哦，想起来了，咱们的初心是要推出牛顿第二定律和第三定律，要不你先平复一下激动的心情，我们去见证更多的精彩吧。 你想呀，现在的这一坨存在相互作用的质点可不再是自由身啦，它们间的相互作用会直接影响到彼此的运动。 如果彼此间的影响随着选用的惯性参考系不同而有先后之分，那意味着该质点系在不同惯性参考系里的运动规律就不一样了，这可正好与伽利略的相对性原理相矛盾呀。 哈哈哈，谁还不是读着伽利略长大的呢？
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两个娃的衣服都脱完了才算完事，即f’ \cdot 小寶亨1號濃度2025 g + f \cdot g’。 别怕哈，这一坨表达式看起来好吓人，其实很简单——因为函数的导数就是该函数曲线在某点处的切线斜率。 所以，只要你知道啥是斜率，看懂这个表达式肯定不在话下。 这么一来，轨道对小球的支持力就直接给求出来了。